如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E是CD的中点,以AE为折痕将△DAE向上折起,使D为D′,且平面D′AE⊥平面ABCE.(Ⅰ)求证:AD′⊥EB;
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如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E是CD的中点,以AE为折痕将△DAE向上折起,使D为D′,且平面D′AE⊥平面ABCE.(Ⅰ)求证:AD′⊥EB;
题型:龙泉驿区模拟
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如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E是CD的中点,以AE为折痕将△DAE向上折起,使D为D′,且平面D′AE⊥平面ABCE.
(Ⅰ)求证:AD′⊥EB;
(Ⅱ)求直线AC与平面ABD"所成角的正弦值.
答案
(Ⅰ)在Rt△BCE中,
BE=
B
C
2
+C
E
2
=
2
,
在Rt△AD"E中,
AE=
D′
A
2
+D′
E
2
=
2
,
∵AB
2
=2
2
=BE
2
+AE
2
,
∴AE⊥BE.(2分)
∵平面AED"⊥平面ABCE,且交线为AE,
∴BE⊥平面AED".(4分)
∵AD"?平面AED",
∴AD"⊥BE.(6分)
(Ⅱ)设AC与BE相交于点F,由(Ⅰ)知AD"⊥BE,
∵AD"⊥ED",
∴AD"⊥平面EBD",(8分)
∵AD"?平面AED",
∴平面ABD"⊥平面EBD",且交线为BD",
如图,作FG⊥BD",垂足为G,则FG⊥平面ABD",(10分)
连接AG,则∠FAG是直线AC与平面ABD"所成的角.(11分)
由平面几何的知识可知
EF
FB
=
EC
AB
=
1
2
,∴
EF=
1
3
EB=
2
3
.
在Rt△AEF中,
AF=
A
E
2
+E
F
2
=
2+
2
9
=
2
5
3
,
在Rt△EBD"中,
FG
FB
=
D′E
D′B
,可求得
FG=
2
6
9
.
∴
sin∠FAG=
FG
AF
=
2
6
9
2
5
3
=
30
15
.(14分)
∴直线AC与平面ABD"所成的角的正弦值为
30
15
.
举一反三
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A.96
B.48
C.24
D.0
题型:江苏
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过直线外一点与这条直线平行的直线有______条.
过直线外一点与这条直线平行的平面有______ 个.
题型:不详
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若两直线a,b在平面α上的射影a′,b′是平行的直线,则a,b的位置关系是______.
题型:不详
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若直线a与直线b,c所成的角相等,则b,c的位置关系为( )
A.相交
B.平行
C.异面
D.以上答案都有可能
题型:不详
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在空间中,有如下四个命题:
①平行于同一个平面的两条直线是平行直线;
②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面;
③若平面α内有不共线的三个点到平面β距离相等,则α
∥
β;
④过平面α的一条斜线有且只有一个平面与平面α垂直.
其中正确的两个命题是( )
A.①、③
B.②、④
C.①、④
D.②、③
题型:不详
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