如图,在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D是BC的中点.(1)求证:AD⊥DC1;(2)如果E是B1C1的中点,求证:A1E平面ADC1.

如图,在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D是BC的中点.(1)求证:AD⊥DC1;(2)如果E是B1C1的中点,求证:A1E平面ADC1.

题型:江苏期末题难度:来源:
如图,在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D是BC的中点.
(1)求证:AD⊥DC1
(2)如果E是B1C1的中点,求证:A1E平面ADC1
答案
明:(1)在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,C1C⊥平面ABC,AD平面ABC,
∴C1C⊥AD,
又AD⊥C1D,C1C∩C1D=C1
∴AD⊥平面BCC1B1
∵DC1平面BCC1B1
∴AD⊥DC1
(2)由(1)得
∴AD⊥BC,
∵在△ABC中,AB=AC,
∴D为BC边上的中点,
连接DE,∵点E是B1C1的中点,
∴在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,四边形B1BDE为平行四边形,
∴B1BED,
又B1B A1A,
∴ED A1A,
∴四边形A1ADE为平行四边形.
∴A1EAD,又A1E平面ADC1,AD平面ADC1
∴A1E平面ADC1

举一反三
关于直线m,n与平面α,β,有以下四个命题:
①若m∥a,n∥β且a∥β,则m∥n;
②若m⊥a,n⊥β且a⊥β,则m⊥n;
③若m⊥a,n∥β且a∥β,则m⊥n;
④若m∥a,n⊥β且a⊥β,则m∥n.
其中真命题的序号是(    ).
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关于直线a、b、l,以及平面α、β,下列命题中正确的是    [     ]
A.若a∥α,b∥α,则a∥b
B.若a∥α,b⊥a,则b⊥α  
C.若aα,bα,且l⊥a,l⊥b,则l⊥α
D.若a⊥α,a∥β,则α⊥β
题型:山东省月考题难度:| 查看答案
已知a、b、c为三条不重合的直线,下面有三个结论:
①若a⊥b,a⊥c则bc;
②若a⊥b,a⊥c则b⊥c;
③若ab,b⊥c则a⊥c.
其中正确的个数为[     ]
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
题型:期末题难度:| 查看答案
如图,在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,E、F分别是AB1、BC1的中点,则以下结论中不成立的是
[     ]
A.EF与BB1垂直
B.EF与BD垂直
C.EF与CD异面
D.EF与A1C1异面
题型:模拟题难度:| 查看答案
设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,和a,且长为a的棱与长为的棱异面,则a的取值范围是[     ]
A.(0,)  
B.(0,)  
C.(1,)  
D.(1,
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