如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，AE⊥PD，EF∥CD，AM=EF。（1）证明MF是异面直线AB与PC的公垂线；（2）若PA=3AB

题型：重庆市高考真题难度：来源：

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，AE⊥PD，EF∥CD，AM=EF。
（1）证明MF是异面直线AB与PC的公垂线；
（2）若PA=3AB，求直线AC与平面EAM所成角的正弦值。

答案

解：（1）证明：因PA⊥底面，有PA⊥AB，
又知AB⊥AD，故AB⊥面PAD，推得BA⊥AE，
又AM∥CD∥EF，且AM=EF，
证得AEFM是矩形，故AM⊥MF
又因AE⊥PD，AE⊥CD，故AE⊥面PCD，
而MF∥AE，得MF⊥面PCD，
故MF⊥PC，
因此MF是AB与PC的公垂线。（2）连结BD交AC于O，连结BE，过O作BE的垂线OH，垂足H在BE上
易知PD⊥面MAE，故DE⊥BE，
又OH⊥BE，故OH//DE，
因此OH⊥面MAE
连结AH，则∠HAO是所要求的线AC与面NAE所成的角
设AB=a，则PA=3a，
因Rt△ADE~Rt△PDA，故

从而在中，sin∠HAO=。