在正方体ABCD-A"B"C"D"中，点M是棱AA′的中点，点O是对角线BD′的中点。（I）求证：OM为异面直线AA"和BD"的公垂线；（Ⅱ）求二面角M-BC"

题型：四川省高考真题难度：来源：

在正方体ABCD-A"B"C"D"中，点M是棱AA′的中点，点O是对角线BD′的中点。
（I）求证：OM为异面直线AA"和BD"的公垂线；
（Ⅱ）求二面角M-BC"-B′的大小。

答案

解析

解：（Ⅰ）连结AC，取AC的中点K，则K为BD的中点，连结OK
因为点M是棱AA"的中点，点O是BD"的中点
所以
所以
由AA"⊥AK，得MO⊥AA′
因为AK⊥BD，AK⊥BB′
所以AK⊥平面BDD"B"
所以AK⊥BD"
所以MO⊥BD"
又因为OM与异面直线AA"和BD"都相交，故OM为异面直线AA"和BD"的公垂线；
（Ⅱ）取BB"的中点N，连结MN，则MN⊥平面BCC"B"
过点N作NH⊥BC"于H，连结MH，则由三垂线定理得，BC′⊥MH
从而，∠MHN为二面角M-BC"-B"的平面角
设AB=1，则MN=1，NH=BNsin45°=
在Rt△MNH中，tan∠MHN=
故二面角M-BC′-B′的大小为。