如图,空间四边形ABCD被一平面所截,截面EFGH是平行四边形.(1)求证:CD∥平面EFGH;(2)如果AB=CD=a,求证:四边形EFGH的周长为定值.
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如图,空间四边形ABCD被一平面所截,截面EFGH是平行四边形.(1)求证:CD∥平面EFGH;(2)如果AB=CD=a,求证:四边形EFGH的周长为定值.
题型:不详
难度:
来源:
如图,空间四边形ABCD被一平面所截,截面EFGH是平行四边形.
(1)求证:CD
∥
平面EFGH;
(2)如果AB=CD=a,求证:四边形EFGH的周长为定值.
答案
证明:(1)∵空间四边形ABCD被一平面所截,截面EFGH是平行四边形,
∴EF
∥
GH,
又∵EF⊄平面BDC,GH⊂平面BDC,
∴EF
∥
平面BDC,
∵EF⊂平面ADC,
平面ADC∩平面BDC=DC,
∴EF
∥
DC,又CD⊄平面EFGH
∴CD
∥
平面EFGH.
(2)∵空间四边形ABCD被一平面所截,截面EFGH是平行四边形.
AB=CD=a,
∴
AF
AC
=
EF
CD
,
CF
AC
=
FG
AB
,
∴
AF
AC
+
CF
AC
=
EF
CD
+
FG
AB
,
∵AB=CD=a,
AF
AC
+
CF
AC
=1,
EF
CD
+
FG
AB
=
EF+FG
a
,
∴
EF+FG
a
=1,
∴EF+FG=a,
∴四边形EFGH的周长=2a.
故四边形EFGH的周长为定值.
举一反三
如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD,且PA=AD,点M、N分别为侧棱PD、PC的中点
(1)求证:CD
∥
平面AMN;
(2)求证:AM⊥平面PCD.
题型:不详
难度:
|
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如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=BC=
1
2
PA,点O、D分别是AC、PC的中点,OP⊥底面ABC.
(Ⅰ)求证OD
∥
平面PAB;
(Ⅱ)求直线OD与平面PBC所成角的大小.
题型:不详
难度:
|
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如图,梯形ABCD和正△PAB所在平面互相垂直,其中AB
∥
DC,
AD=CD=
1
2
AB
,且O为AB中点.
(I)求证:BC
∥
平面POD;
(II)求证:AC⊥PD.
题型:不详
难度:
|
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如图,已知E、F分别是三棱锥A-BCD的侧棱AB、AD的中点,
求证:EF
∥
平面BCD.
题型:不详
难度:
|
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如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA⊥PD,E,F分别为PC,BD的中点.证明
(1)EF
∥
平面PAD;
(2)EF⊥平面PDC.
题型:不详
难度:
|
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