方法一: (Ⅰ)∵O、D分别为AC、PC中点, ∴OD∥PA又PA⊂平面PAB ∴OD∥平面PAB (Ⅱ)∵AB⊥BC,OA=OC,∴OA=OB=OC, 又∵OP⊥平面ABC ∴PA=PB=PC.取BC中点E,连接PE,则BC⊥平面POE作OF⊥PE于F,连接DF,则OF⊥平面PBC ∴∠ODF是OD与平面PBC所成的角.在Rt△ODF中,sin∠ODF==, ∴OD与平面PBC所成的角为arcsin.
方法二:∵OP⊥平面ABC,OA=OC,AB=BC, ∴OA⊥OB,OA⊥OP,OB⊥OP.以O为原点,射线OP为非负z轴,建立空间直角坐标系O-xyz(如图),设AB=a,则A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0) 设OP=h,则P(0,0,h). (Ⅰ)∵D为PC的中点, ∴=(-a,0,h),又=(a,0,-h), ∴=-.∴∥.∴OD∥平面PAB. (Ⅱ)∵PA=2a∴h=a, ∴=(-a,0,a),可求得平面PBC的法向量=(-1,1,), ∴cos〈,>==. 设OD与平面PBC所成的角为θ, 则sinθ=|cos〈,>|=, ∴OD与平面PBC所成的角为arcsin
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