如图，在三棱锥A-BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形，（Ⅰ）求证：MD∥平面APC；（Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面

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如图，在三棱锥A-BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形，
（Ⅰ）求证：MD∥平面APC；
（Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面APC．

答案

证明：（Ⅰ）∵M为AB中点，D为PB中点，
∴MD∥AP，
又MD⊄平面ABC，
∴MD∥平面APC．
（Ⅱ）∵△PMB为正三角形，且D为PB中点，
∴MD⊥PB．
又由（Ⅰ）知MD∥AP，
∴AP⊥PB．
又已知AP⊥PC，PB∩PC=P
∴AP⊥平面PBC，而BC包含于平面PBC，
∴AP⊥BC，
又AC⊥BC，而AP∩AC=A，
∴BC⊥平面APC，
又BC包含于平面ABC
∴平面ABC⊥平面PAC．

举一反三

已知a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题
①a∥b，a∥α⇒b∥α；②a⊥b，a⊥α⇒b∥α；
③a∥α，β∥α⇒a∥β；④a⊥α，β⊥α⇒a∥β，
其中不正确的有（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

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在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为边长为4的正方形，PA⊥平面ABCD，E为PB中点，PB=4

（Ⅰ）求证：PD∥面ACE；
（Ⅱ）求三棱锥D-AEC的体积．

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如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，E，F分别是AC，PB的中点．
（Ⅰ）证明：EF∥平面PCD；
（Ⅱ）若PA=AB，求EF与平面PAC所成角的大小．

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已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=AC=AA₁，D，E，F分别为AB₁，CC₁，BC的中点．
（1）求证：DE∥平面ABC；
（2）求证：B₁F⊥平面AEF．

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过两条异面直线中的一条且平行于另一条的平面有______个．

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