在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为边长为4的正方形,PA⊥平面ABCD,E为PB中点,PB=42(Ⅰ)求证:PD∥面ACE;(Ⅱ)求三棱锥D-AEC的体积.
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在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为边长为4的正方形,PA⊥平面ABCD,E为PB中点,PB=42(Ⅰ)求证:PD∥面ACE;(Ⅱ)求三棱锥D-AEC的体积.
题型:不详
难度:
来源:
在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为边长为4的正方形,PA⊥平面ABCD,E为PB中点,
PB=4
2
(Ⅰ)求证:PD
∥
面ACE;
(Ⅱ)求三棱锥D-AEC的体积.
答案
(I)证明:连接BD,交AC于F,连接EF.
∵四边形ABCD为正方形
∴F为BD的中点
∵E为PB的中点,
∴EF
∥
PD
又∵PD⊄面ACE,EF⊂面ACE,
∴PD
∥
平面ACE.
(Ⅱ)取AB中点为G,连接EG
∵E为PB的中点,
∴EG
∥
PA
∵PA⊥平面ABCD,
∴EG⊥平面ABCD,
即EG是三棱锥E-ADC的高,
在Rt△PAB中,PB=4
2
,AB=4,则PA=4,EG=2,
∴三棱锥D-AEC的体积为
1
3
×
1
2
×4×4×2=
16
3
.
举一反三
如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形,PA⊥底面ABCD,E,F分别是AC,PB的中点.
(Ⅰ)证明:EF
∥
平面PCD;
(Ⅱ)若PA=AB,求EF与平面PAC所成角的大小.
题型:不详
难度:
|
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已知直三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,AB⊥AC,AB=AC=AA
1
,D,E,F分别为AB
1
,CC
1
,BC的中点.
(1)求证:DE
∥
平面ABC;
(2)求证:B
1
F⊥平面AEF.
题型:不详
难度:
|
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过两条异面直线中的一条且平行于另一条的平面有______个.
题型:不详
难度:
|
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如图,在正三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,E∈BB
1
,F是AC的中点,截面A
1
EC⊥侧面AC
1
.求证:BF
∥
平面A
1
EC.
题型:不详
难度:
|
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如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥面ABCD,AP=AB=2,BC=2
2
,E、F分别是AD、PC的中点.
(1)求证:EF
∥
面PAB;
(2)求EF与面ABCD所成角.
题型:不详
难度:
|
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