如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直.EF∥AC,AB=2,CE=EF=1,∠ECA=60°.(1)求证:AF∥平面BDE;(2)求异面直线A
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如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直.EF∥AC,AB=2,CE=EF=1,∠ECA=60°.(1)求证:AF∥平面BDE;(2)求异面直线A
题型:不详
难度:
来源:
如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直.EF
∥
AC,AB=
2
,CE=EF=1,∠ECA=60°.
(1)求证:AF
∥
平面BDE;
(2)求异面直线AB与DE所成角的余弦值.
答案
(1)证明:∵ABCD是正方形,且AB=
2
,
∴AO=1,又EF
∥
AC,EF=1,
∴EFAO为平行四边形,则AF
∥
OE,而AF⊄面BDE,OE⊂面BDE,
∴AF
∥
面BDE(3分)
(2)∵ABCD是正方形,
∴AB
∥
CD
∴∠EDC为异面直线AB与DE所成的角或其补角(2分)
又BD⊥AC,又面ABCD⊥面ACEF,且面ABCD∩面ACEF=AC
∴BD⊥面ACEF,又OE⊂面ACEF,
∴BD⊥OE.
而由EC=1,OC=OA=1,∠ECA=60°
∴OE=1,又OD=1,则ED=
O
E
2
+O
D
2
=
2
又CD=
2
,CE=1,
∴
Cos∠EDC=
2+2-1
2×
2
×
2
=
3
4
∴异面直线AB与DE所成的角的余弦值为
3
4
(3分)
举一反三
如图为一组合体,其底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,EC
∥
PD,且PD=AD=2EC=2
(Ⅰ)求证:BE
∥
平面PDA;
(Ⅱ)求四棱锥B-CEPD的体积;
(Ⅲ)求该组合体的表面积.
题型:不详
难度:
|
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在正四面体PABC中,D,E,F分别是棱AB,BC,CA的中点.给出下面四个结论:
①BC
∥
平面PDF;②DF⊥平面PAE;③平面PDF⊥平面ABC;④平面PAE⊥平面ABC,
其中所有不正确的结论的序号是______.
题型:不详
难度:
|
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如图,在矩形ABCD中,已知AB=2AD=4,E为AB的中点,现将△AED沿DE折起,使点A到点P处,满足PB=PC,设M、H分别为PC、DE的中点.
(1)求证:BM
∥
平面PDE;
(2)线段BC上是否存在一点N,使BC⊥平面PHN?试证明你的结论;
(3)求△PBC的面积.
题型:不详
难度:
|
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下列说法正确的是( )
A.垂直于同一平面的两平面也平行
B.与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线
C.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D.垂直于同一直线的两平面平行
题型:不详
难度:
|
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如图,在三棱锥A-BPC中,AP⊥PC,AC⊥BC,M为AB中点,D为PB中点,且△PMB为正三角形,
(Ⅰ)求证:MD
∥
平面APC;
(Ⅱ)求证:平面ABC⊥平面APC.
题型:不详
难度:
|
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