如图,在矩形ABCD中,已知AB=2AD=4,E为AB的中点,现将△AED沿DE折起,使点A到点P处,满足PB=PC,设M、H分别为PC、DE的中点.(1)求证

如图,在矩形ABCD中,已知AB=2AD=4,E为AB的中点,现将△AED沿DE折起,使点A到点P处,满足PB=PC,设M、H分别为PC、DE的中点.(1)求证

题型:不详难度:来源:
如图,在矩形ABCD中,已知AB=2AD=4,E为AB的中点,现将△AED沿DE折起,使点A到点P处,满足PB=PC,设M、H分别为PC、DE的中点.
(1)求证:BM平面PDE;
(2)线段BC上是否存在一点N,使BC⊥平面PHN?试证明你的结论;
(3)求△PBC的面积.
答案
证明:(1)取PD的中点F,连接EF,FM
由条件知:FM平行且等于DC的一半,EB平行且等于DC的一半
∴FMEB,且FM=EB
则四边形EFMB是平行四边形
则BMEF
∵BM⊄平面PDE,EF⊂平面PDE
∴BM平面PDE;
(2)当N为BC的中点时,BC⊥平面PHN,理由如下:
由题意得,HN为直角梯形BCDE的中位线
∴HN⊥BC
∵PB=PC
∴PN⊥BC
又∵HN∩PN=N
∴BC⊥平面PHN,
(3)由(2)中结论可得,BC⊥PH,
又∵PH⊥DE
故PH⊥底面BCDE
则PH⊥HN,即△PHN为直角三角形
∵AB=2AD=4,E为AB的中点
∴BC=2,HN=3,PH=


2
,则PN=


11

∴△PBC的面积S=
1
2
•BC•PN=


11

举一反三
下列说法正确的是(  )
A.垂直于同一平面的两平面也平行
B.与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线
C.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D.垂直于同一直线的两平面平行
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如图,在三棱锥A-BPC中,AP⊥PC,AC⊥BC,M为AB中点,D为PB中点,且△PMB为正三角形,
(Ⅰ)求证:MD平面APC;
(Ⅱ)求证:平面ABC⊥平面APC.
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已知a,b为两条直线,α,β为两个平面,下列四个命题
①ab,aα⇒bα;②a⊥b,a⊥α⇒bα;
③aα,βα⇒aβ;④a⊥α,β⊥α⇒aβ,
其中不正确的有(  )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为边长为4的正方形,PA⊥平面ABCD,E为PB中点,PB=4


2

(Ⅰ)求证:PD面ACE;
(Ⅱ)求三棱锥D-AEC的体积.
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如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形,PA⊥底面ABCD,E,F分别是AC,PB的中点.
(Ⅰ)证明:EF平面PCD;
(Ⅱ)若PA=AB,求EF与平面PAC所成角的大小.
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