在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ACC1A1⊥平面ABC，∠ACB=90°．（1）求证：BC⊥AA1．（2）若M，N是棱BC上的两个三等分点，求证：A1N

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在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ACC₁A₁⊥平面ABC，∠ACB=90°．
（1）求证：BC⊥AA₁．
（2）若M，N是棱BC上的两个三等分点，求证：A₁N∥平面AB₁M．

答案

证明：（Ⅰ）因为∠ACB=90°，所以AC⊥CB，
又侧面ACC₁A₁⊥平面ABC，且平面ACC₁A₁∩平面ABC=AC，BC⊂平面ABC，所以BC⊥平面ACC₁A₁，
又AA₁⊂平面ACC₁A₁，所以BC⊥AA₁．
（II）连接A₁B，交AB₁于O点，连接MO，
在△A₁BN中，O，M分别为A₁B，BN的中点，所以OM∥A₁N
又OM⊂平面AB₁M，A₁N不属于平面AB₁M，
所以A₁N∥平面AB₁M．