如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB=BC=CA=3，AD=CD=1．（1）求证：BD⊥AA1；（2）在棱BC

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如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，且AB=BC=CA=

3

，AD=CD=1．
（1）求证：BD⊥AA₁；
（2）在棱BC上取一点E，使得AE∥平面DCC₁D₁，求

BE

EC

的值．

答案

（1）证明：在四边形ABCD中，因为BA=BC，DA=DC，所以BD⊥AC．
因为平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，且平面AA₁C₁C∩平面ABCD=AC，BD⊂平面ABCD，
所以BD⊥平面AA₁C₁C，
因为AA₁⊂平面AA₁C₁C，
所以BD⊥AA₁；
（2）点E为BC中点，即

BE

EC

=1，
下面给予证明：在三角形ABC中，因为AB=AC，E为BC中点，所以AE⊥BC，
又在四边形ABCD中，AB=BC=CA=

3

，DA=DC=1，所以∠ACB=60°，∠ACD=30°，
所以DC⊥BC，即平面ABCD中有，AE∥DC．
因为DC⊂平面DCC₁D₁，AE⊄平面DCC₁D₁，
所以AE∥平面DCC₁D₁．