如图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB且AM=FN，求证：MN∥平面BCE．

题型：不详难度：来源：

如图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB且AM=FN，求证：MN∥平面BCE．

答案

证法一：过M作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足（如图），连接PQ．
∵MP∥AB，NQ∥AB，∴MP∥NQ．
又NQ=

2

2

BN=

2

2

CM=MP，∴MPQN是平行四边形．
∴MN∥PQ，PQ⊂平面BCE．
而MN⊄平面BCE，
∴MN∥平面BCE．
证法二：过M作MG∥BC，交AB于点G（如图），连接NG．
∵MG∥BC，BC⊂平面BCE，
MG⊄平面BCE，
∴MG∥平面BCE．
又

BG

GA

=

CM

MA

=

BN

NF

，
∴GN∥AF∥BE，同样可证明GN∥平面BCE．
又面MG∩NG=G，
∴平面MNG∥平面BCE．又MN⊂平面MNG．∴MN∥平面BCE．