如图所示,已知ABCD是直角梯形,∠ABC=90°,AD∥BC,AD=2,AB=BC=1,PA⊥平面ABCD.(1)证明:PC⊥CD;(2)若E是PA的中点,证

如图所示,已知ABCD是直角梯形,∠ABC=90°,AD∥BC,AD=2,AB=BC=1,PA⊥平面ABCD.(1)证明:PC⊥CD;(2)若E是PA的中点,证

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如图所示,已知ABCD是直角梯形,∠ABC=90°,ADBC,AD=2,AB=BC=1,PA⊥平面ABCD.
(1)证明:PC⊥CD;
(2)若E是PA的中点,证明:BE平面PCD;
(3)若PA=3,求三棱锥B-PCD的体积.
答案
(1)由已知易得AC=


2
CD=


2
.(1分)
∵AC2+CD2=AD2
∴∠ACD=90°,即AC⊥CD.(2分)
又∵PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,
∴PA⊥CD.(3分)
∵PA∩AC=A,
∴CD⊥平面PAC.(4分)
∵PC⊂平面PAC,
∴CD⊥PC.(5分)

(2)取AD的中点为F,连接BF,EF.
∵AD=2,BC=1,
∴BCFD,且BC=FD,
∴四边形BCDF是平行四边形,即BFCD.(6分)
∵BF⊄平面PCD,
∴BF平面PCD.(7分)
∵E,F分别是PA,AD的中点,
∴EFPD.
∵EF⊄平面PCD,
∴EF平面PCD.(9分)
∵EF∩BF=F,
∴平面BEF平面PCD.(10分)
∵EF⊂平面BEF,
∴BE平面PCD.(11分)

(3)由已知得S△BCD=
1
2
×1×1=
1
2
,(12分)
所以,VB-PCD=VP-BCD=
1
3
×PA×S△BCD=
1
3
×3×
1
2
=
1
2
.(14分)
举一反三
已知正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的所有棱长均为2,G为AF的中点.
(1)求证:F1G平面BB1E1E;
(2)求证:平面F1AE⊥平面DEE1D1
(3)求四面体EGFF1的体积.
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如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,D1D⊥底面ABCD,底面ABCD是正方形,且AB=1,D1D=


2
,E、F、G分别A1B1、B1C1、BB1的中点.
(1)求直线D1B与平面ABCD所成角的大小.
(2)求证:AC平面EGF.
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如图在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=BC,E是PC的中点,求证:PA平面EDB.
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在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,O为AC和BD的交点,过A、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后,得到如图所示的几何体ABCD-AC1Dl,且这个几何体的体积为.
(1)求证:OD1平面BA1C1
(2)求棱A1A的长:
(3)求点D1到平面BA1C1的距离.
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设四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,且PA⊥面ABCD,PA=AB,E为PD的中点.
(1)求证:直线PB面ACE
(2)求证:直线AE⊥面PCD
(3)求直线AC与平面PCD所成角的大小.
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