证明:(1)在图1中,因为∠ABC=∠BAD=90°,所以AD∥BC. 因为F,G分别是CD,AB的中点,所以FG∥AD∥BC. 在图2中,因为FG∥AD,FG∥BC,所以AD∥BC. 因为BC=2AD,E是BC的中点,所以AD=BE. 所以四边形ABED是平行四边形. 所以AB∥DE. 因为∠GAD=∠GBC=90°,FG∥AD,FG∥BC, 所以AG⊥FG,且BG⊥FG. 因为AG∩BG=G,且AG,BG⊂平面AGB,所以FG⊥平面AGB. 因为AB⊂平面AGB,所以FG⊥AB. 所以DE⊥FG. (2)当M在线段BG上,且BM=2MG时,AM∥平面BDF. 证明如下: 在线段BF上取点N,使BN=2NF. 因为FG是梯形ABCD的中位线,BC=2AD=4, 所以FG∥AD,且FG=3. 因为BM=2ME,BN=2NF,所以MN∥FG,且MN=FG=2. 所以MNAD. 所以四边形MNDA是平行四边形. 所以AM∥DN. 又因为DN⊂平面BDF,AM⊄平面BDF, 所以AM∥平面BDF. |