如图，已知三棱锥A-PBC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且AB=2MP．（1）求证：DM∥平面APC；（2）求证：平面ABC⊥平面AP

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如图，已知三棱锥A-PBC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且AB=2MP．
（1）求证：DM∥平面APC；
（2）求证：平面ABC⊥平面APC．魔方格

答案

（1）由于M为AB中点，D为PB中点，故MD为三角形PAB的中位线，故MD∥AP．
而AP⊂平面APC，MD不在平面APC内，故有DM∥平面APC．
（2）∵M为AB中点，且AB=2MP，故有MA=MB=MP，故M为△PAB的外心，故有PA⊥PB．
再由AP⊥PC，PB∩PC=P，可得PA⊥平面PBC，故PA⊥BC．
再由BC⊥PC，PA∩PC=P，可得BC⊥平面PAC．
而BC⊂平面ABC，故有平面ABC⊥平面APC．

举一反三

如图，ABCD是正方形，O是该正方形的中心，P是平面ABCD外一点，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：
（1）PA∥平面BDE；
（2）平面EBD⊥平面PAC；
（3）若PA=AB=4，求四棱锥P-ABCD的全面积．魔方格

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如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F 为棱AD、AB的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面CB₁D₁；
（Ⅱ）求证：平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁．魔方格

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如图，梯形ABCD中，AD∥BC，PA⊥平面ABCD，E是PD的中点，AB=BC=1，PA=AD=2．
（1）求证：CE∥平面PAB；
（2）求证：CD⊥平面PAC．魔方格

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如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC=BC=EB=2DC=2，∠ACB=120°，P，Q分别为AE，AB的中点．
（Ⅰ）证明：PQ∥平面ACD；
（Ⅱ）求AD与平面ABE所成角的正弦值．魔方格

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如图，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=

AP，D是AP的中点，E、F分别为PC、PD的中点，将△PCD沿CD折起得到四棱锥P-ABCD，
（Ⅰ）G为线段BC上任一点，求证：平面EFG⊥平面PAD；
（Ⅱ）当G为BC的中点时，求证：AP∥平面EFG．魔方格

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