如图，四棱锥C-ABCD中，△ABC为正三角形，AE⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，M为DC上一点，BD=BC=2AE=2。（Ⅰ）求证：AE∥平面BCD；（Ⅱ

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如图，四棱锥C-ABCD中，△ABC为正三角形，AE⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，M为DC上一点，BD=BC=2AE=2。
（Ⅰ）求证：AE∥平面BCD；
（Ⅱ）当EM⊥BD时，求二面角M-AB-C的正切值。

答案

证明：（Ⅰ）∵AE⊥平面ABC，BD⊥平面ABC
∴AE∥BD 而AE平面BCD，BD平面BCD
∴AE∥平面BCD
（Ⅱ）∵BD⊥平面ABC
∴平面BCD⊥平面ABC
在平面BCD中过点M作MN⊥BC，垂足为N
则有MN⊥平面ABC，MN∥BD,
∴且MN∥AE
过N作NG⊥AB于G，连接MG，则MG⊥AB，所以∠MGN为二面角M-AB-C的一个平面角
在四边形AEMN中
∵∠EAN=∠ANM=∠NME=
∴四边形AEMN为矩形
∴MN=AE=1
∴M为CD的中点，N为BC的中点
在Rt△MNG中，MN=1，NG=BNsin∠ABC=
∴tan∠MGN=

举一反三

已知菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=60°（如图1所示），将菱形ABCD沿对角线BD翻折，使点C翻折到点C₁的位置（如图2所示），点E，F，M分别是AB，DC₁，BC₁的中点．
（1）证明：BD ∥平面EMF；
（2）证明：AC₁⊥BD；
（3）当EF⊥AB时，求线段AC₁的长。

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在边长为6cm的正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，M、N分别为AB、CF的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合，构成一个三棱锥．
（1）判别MN与平面AEF的位置关系，并给出证明；
（2）求多面体E-AFMN的体积．

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关于直线与m,n面α,β,γ有以下三个命题
⑴若m∥α,n∥β且α∥β则m∥n
⑵若α∩β=m,α⊥γ,β⊥γ则m⊥γ
⑶若m⊥α，n⊥β，且α⊥β则m⊥n
其中真命题有

[     ]
A．1个
B．2个
C．3个
D．0个

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下图为一简单组合体，其底面ABCD 为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=AD=2EC=2 ．
（1）求证：BE∥平面PDA；
（2）求四棱锥B－CEPD的体积．

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如图所示，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，AF∥DE，DE=DA=2AF=2．
（1）求证：AC∥平面BEF；
（2）求四面体BDEF的体积．

题型：黑龙江省模拟题难度：| 查看答案

如图，四棱锥C-ABCD中，△ABC为正三角形，AE⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，M为DC上一点，BD=BC=2AE=2。（Ⅰ）求证：AE∥平面BCD； （Ⅱ