已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面三角形ABC为正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=2，AA1=4，E为AA1的中点，F为BC中点．（1）求证：直线AF

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已知三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁，底面三角形ABC为正三角形，侧棱AA₁⊥底面ABC，AB=2，AA₁=4，E为AA₁的中点，F为BC中点．
（1）求证：直线AF∥平面BEC₁；
（2）求平面BEC₁和平面ABC所成的锐二面角的余弦值．

答案

解：取B₁C₁中点为S，连接FS，以点F为坐标原点，FA为x轴，FB为y轴，FS为z轴建立空间直角坐标系，则

，

，
（1）则

，

，
设平面BEC₁的法向量为

，则

，
即

令y₁=2，则x₁=0，z₁=1，
即

，
所以

，
故直线AF∥平面BEC₁．
（2）设平面ABC的法向量

，则

．
由于平面BEC₁和平面ABC所成二面角是锐二面角所以其余弦值是

．

举一反三

如图，正三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，D是BC的中点，AA₁=AB=1．
（I）求证：A₁C∥平面AB₁D；
（II）求二面角B﹣AB₁﹣D的大小．

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已知四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，且PA=AB=1，BC=2．E，F分别为BC，PD的中点．
①求证：EF∥平面PAB．
②求证：DE⊥平面PAE．
③求二面角P﹣DE﹣A的余弦值．

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已知a、b为直线，α，β，γ为平面，有下列四个命题：
①a∥α，b∥α，则a∥b
②α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
③a∥α，α∥β，则α∥β
④a∥b，b

α，则a∥α
其中正确命题的个数是（）．

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已知a、b为直线，α，β，γ为平面，有下列四个命题：
①a∥α，b∥α，则a∥b
②α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
③a∥α，α∥β，则α∥β
④a∥b，b

α，则a∥α
其中正确命题的个数是（）．

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如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：
（1）直线EF∥面ACD；
（2）平面EFC⊥面BCD．

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已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面三角形ABC为正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=2，AA1=4，E为AA1的中点，F为BC中点． （1）求证：直线AF