如图为一简单组合体，其底面ABCD 为正方形，N 为线段PB 的中点，PD⊥ 平面ABCD，EC ∥PD，且PD=2EC。(1) 求证：BE ∥平面PDA；  

题型：期末题难度：来源：

如图为一简单组合体，其底面ABCD 为正方形，N 为线段PB 的中点，PD⊥ 平面ABCD，EC ∥PD，且PD=2EC。
(1) 求证：BE ∥平面PDA；  
(2) 求证：EN⊥平面PDB；    
(3) 若，求平面PBE与平面ABCD所成的二面角的大小。

答案

(1)证明：∵EC∥PD，PD平面PDA，EC平面PDA，
∴EC∥平面PDA，同理可得BC∥平面PDA，
∵EC平面EBC，BC平面EBC，且EC∩BC=C，
∴平面BEC∥平面PDA.
又∵BE平面EBC,
∴BE∥平面PDA(2)证明：如图1，连结AC与BD交于点F，连结NF，
∵F为BD的中点，N为线段PB的中点，
∴NF∥PD且
又EC∥PD且
∴NF∥EC且NF=EC
∴四边形NFCE为平行四边形，
∴NE∥FC.
∵DB⊥AC，PD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，
∴AC⊥PD.
又PD∩BD =D，
∴AC⊥平面PDB，
∴NE⊥平面PDB。
图1


(3)解：如图2，延长PE与DC的延长线交于点G，连结GB，则GB为平面PBE与平面ABCD的交线，
∵PD=2EC．
∴CD=CG=CB,
∴D、B、G在以C为圆心、以DC为半径的圆上．
∴DB⊥BG．
∵PD⊥平面ABCD，BG平面ABCD，
∴PD⊥BG且PD∩DB=D，
∴BG⊥平面PDB，
∵PB平面PDB，
∴BG⊥PB．
∴∠PBD为平面PBE与平面ABCD所成的二面角的平面角，
在Rt△PDB中，∵PD=DB，
∴∠PBD=45°，
即平面PBE与平面ABCD所成的二面角为45°