如图所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长均为a，D、E分别为C1C与AB的中点，A1B交AB1于G。 （1）求证：A1B⊥AD；（2）求证：CE∥平面AB1

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如图所示，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱长均为a，D、E分别为C₁C与AB的中点，A₁B交AB₁于G。

（1）求证：A₁B⊥AD；
（2）求证：CE∥平面AB₁D。

答案

证明：（1）连接A₁D，BD，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是棱长均为a的正三棱柱，
∴A₁ABB₁为正方形，
∴A₁B⊥AB₁，
∵D是C₁C的中点，
∴△A₁C₁D△BCD，
∴A₁D=BD，
∵G是A₁B中点，
∴A₁B⊥DG，
又∵DG∩AB₁=G，
∴A₁B⊥平面AB₁D，
又∵AD平面AB₁D，
∴A₁B⊥AD；
（2）连接GE，GD，
∵EG//A₁A，
∴GE⊥平面ABC，
∵DC⊥平面ABC，
∴GE//DC，
∵
∴四边形GECD为平行四边形，
∴EC∥GD，
又∵EC平面AB₁D，DG平面AB₁D，
∴EC//平面AB₁D。