已知正方形ABCD，E、F分别是边AB、CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图所示，记二面角A-DE-C的大小为θ（0＜θ＜π）。（1）证明BF∥平面ADE；

题型：辽宁省高考真题难度：来源：

已知正方形ABCD，E、F分别是边AB、CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图所示，记二面角A-DE-C的大小为θ（0＜θ＜π）。
（1）证明BF∥平面ADE；
（2）若△ACD为正三角形，试判断点A在平面BCDE内的射影G是否在直线EF上，证明你的结论，并求角θ的余弦值。

答案

解：（1）证明：E、F分别是正方形ABCD的边AB、CD的中点
∴ED∥FD，且EB=FD，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∴EF∥ED
∵BD平面AED，而BF平面AED
∴BF∥平面AED。（2）点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上，
过点A作AG⊥平面BCDE，垂足为G，连结GC，GD
∵△ACD为正三角形
∴AC=AD，
∴GC=GD，
∴G在CD的垂直平分线上，
又∵EF是CD的垂直平分线
∴点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上
过G作GH⊥ED，垂足为H，连结AH，则AH⊥DE
∴∠AHG是二面角A-DE-C的平面角，即∠AHG=θ
设原正方形ABCD的边长为2a，连结AF
在折后图的△AEF中，AF=a，EF=2AE=2a，
∴△AEF为直角三角形，AG·EF=AE·AF，
∴AC=
在Rt△ADE中，AH·DE=AD·AE，
∴AH=，
∴
∴。