如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,AB=2EF=2,EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°,BF=FC,H为BC的中点.(Ⅰ)求证:FH∥

如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,AB=2EF=2,EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°,BF=FC,H为BC的中点.(Ⅰ)求证:FH∥

题型:安徽省高考真题难度:来源:
如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,AB=2EF=2,EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°,BF=FC,H为BC的中点.
(Ⅰ)求证:FH∥平面EDB;
(Ⅱ)求证:AC⊥平面EDB;
(Ⅲ)求四面体B-DEF的体积.
答案
(Ⅰ)证明:设AC与BD交于点G,则G为AC的中点,
连结EC,CH,由于H为BC的中点,故


∴四边形EFHC为平行四边形,
∴EG∥FH,
而EG平面EDB,
∴FH∥平面EDB。
(Ⅱ)证明:由四边形ABCD为正方形,有AB⊥BC,
又EF∥AB,
∴EF⊥BC,而EF⊥FB,
∴EF⊥平面BFC,
∴EF⊥FH,
∴AB⊥FH,
又BF=FC,H为BC的中点,
∴FH⊥BC,
∴FH⊥平面ABCD,
∴FH⊥AC,
又FH∥EG,
∴AC⊥EG,
又AC⊥BD,EG∩BD=G,
∴AC⊥平面EDB。
(Ⅲ)解:∵EF⊥FB,∠BFC=90°,
∴BF⊥平面CDEF,
所以BF为四面体B-DEF的高,
又BC=AB=2,

举一反三
如图,在平行四边形ABCD中,AB=2BC,∠ABC=120°,E为线段AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE,使平面A′DE⊥平面BCD,F为线段A′C的中点.
(Ⅰ)求证:BF∥平面A′DE;
(Ⅱ)设M为线段DE的中点,求直线FM与平面A′DE所成角的余弦值.
题型:浙江省高考真题难度:| 查看答案
如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,H分别是棱A1B1D1C1上的点(点E与B1不重合),且EH∥A1D1,过EH的平面与棱BB1,CC1相交,交点分别为F,G。
(I)证明:AD∥平面EFGH;
(Ⅱ)设AB=2AA1=2a。在长方体ABCD-A1B1C1D1内随机选取一点,记该点取自于几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为p。当点E,F分别在棱A1B1,B1B上运动且满足EF=a时,求p的最小值。
题型:福建省高考真题难度:| 查看答案
如图,DC⊥平面ABC,EB∥DC,AC=BC=EB=2DC=2,∠ACB=120°,P,Q分别为AE,AB的中点.
(Ⅰ)证明:PQ∥平面ACD;
(Ⅱ)求AD与平面ABE所成角的正弦值.
题型:浙江省高考真题难度:| 查看答案
如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,DB平分∠ADC,E为PC的中点,AD=CD=1,DB=2
(Ⅰ)证明PA∥平面BDE;
(Ⅱ)证明AC⊥平面PBD;
(Ⅲ)求直线BC与平面PBD所成的角的正切值.
题型:天津高考真题难度:| 查看答案
如图,在四面体ABCD中,CB=CD,AD⊥BD,点E、F分别是AB、BD的中点,
求证:(Ⅰ)直线EF∥平面ACD;
(Ⅱ)平面EFC⊥平面BCD。
题型:江苏高考真题难度:| 查看答案
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