如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC=BC=EB=2DC=2，∠ACB=120°，P，Q分别为AE，AB的中点．(Ⅰ)证明：PQ∥平面ACD； (Ⅱ)求AD

题型：浙江省高考真题难度：来源：

如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC=BC=EB=2DC=2，∠ACB=120°，P，Q分别为AE，AB的中点．
(Ⅰ)证明：PQ∥平面ACD；
(Ⅱ)求AD与平面ABE所成角的正弦值．

答案

(Ⅰ)证明：因为P，Q分别为AE，AB的中点，
所以PQ∥EB，
又DC∥EB，
因此PQ∥DC，
从而PQ∥平面ACD.

(Ⅱ)解：如图，连结CQ，DP，
因为Q为AB的中点，且AC=BC，
所以CQ⊥AB，
因为DC⊥平面ABC，EB∥DC，
所以EB⊥平面ABC，
因此CQ⊥EB，故CQ⊥平面ABE．
由(Ⅰ)有PQ∥DC，
又PQ=EB=DC，所以四边形CQPD为平行四边形，
故DP∥CQ，
因此DP⊥平面ABE，∠DAP为AD和平面ABE所成的角，
在Rt△DPA中，，
因此AD和平面ABE所成角的正弦值为。