设函数f(x)=sinx+cosx,g(x)=f(x)•f′(x)+[f(x)]2(Ⅰ)求g(x)的周期和最大值;(Ⅱ)求g(x)的单调递增区间.

设函数f(x)=sinx+cosx,g(x)=f(x)•f′(x)+[f(x)]2(Ⅰ)求g(x)的周期和最大值;(Ⅱ)求g(x)的单调递增区间.

题型:不详难度:来源:
设函数f(x)=sinx+cosx,g(x)=f(x)•f′(x)+[f(x)]2
(Ⅰ)求g(x)的周期和最大值;
(Ⅱ)求g(x)的单调递增区间.
答案
(1)∵f(x)=cosx-sinx,
∴g(x)=(sinx+cosx)(cosx-sinx)+(sinx+cosx)2=cos2x+sin2x+1=


2
sin(2x+
π
4
)+1

∴T=
2
=π.
2x+
π
4
=
π
2
+2kπ
,即x=kπ+
π
8
(k∈Z)时,sin(2x+
π
4
)
取得最大值1,
此时,函数g(x)取得最大值


2
+1

(2)由-
π
2
+2kπ≤2x+
π
4
π
2
+2kπ
 解得-
8
+kπ≤x≤
π
8
+kπ(k∈Z)

∴函数g(x)的单调递增区间为[kπ-
8
,kπ+
π
8
]
(k∈Z).
举一反三
求下列函数的导数:
(1)y=
4x3

+2x
(2)y=lgx-sinx;
(3)y=2sinxcosx;
(4)y=
ex
x+1
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函数y=(1-


x
)(1+
1


x
)的导数为______.
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函数y=
1
x
+
2
x2
+
1
x3
的导数是______.
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函数y=2x2+1在x=1处的导数为______.
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已知函数f(x)满足f(
π
4
)=2
f′(
π
4
)=4
,则函数F(x)=f(x)•sinx的图象在x=
π
4
处切线的斜率为______.
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