如图1,在直角梯形ABCP中,AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC=AP=2,D是AP的中点,E,F,G分别为PC、PD、CB的中点,将△PCD沿CD折起,使得P

如图1,在直角梯形ABCP中,AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC=AP=2,D是AP的中点,E,F,G分别为PC、PD、CB的中点,将△PCD沿CD折起,使得P

题型:0112 模拟题难度:来源:
如图1,在直角梯形ABCP中,AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC=AP=2,D是AP的中点,E,F,G分别为PC、PD、CB的中点,将△PCD沿CD折起,使得PD⊥平面ABCD, 如图2。
(Ⅰ)求三棱椎D-PAB的体积;
(Ⅱ)求证:AP∥平面EFG;
(Ⅲ)求二面角G-EF-D的大小。
答案
解:(Ⅰ)
(Ⅱ)(方法一)连结AC,BD交于O点,连结GO,FO,EO,
∵E,F分别为PC,PD的中点,
∴EF//CD,且EF=CD,同理GO//CD,且GO=CD,
∴EF// GO, ∴四边形EFOG是平行四边形,
∴EO平面EFOG,
又在三角形PAC中,E,O分别为PC,AC的中点,
∴PA∥EO,EO平面EFOG,PA平面EFOG,
∴PA∥平面EFOG,即PA∥平面EFG。 (方法二)如图以D为原点,以为方向向量,
建立空间直角坐标系D-xyz,
则有关点及向量的坐标为:


设平面EFG的法向量为
 ,



平面EFG,
∴AP∥平面EFG.(Ⅲ)由已知底面ABCD是正方形,∴AD⊥DC,
又∵PD⊥面ABCD,
∴AD⊥PD,
又PD∩CD=D,∴AD⊥平面PCD,
∴向量是平面PCD的一个法向量,
又由(Ⅰ)方法二,知平面EFG的法向量为

 结合图知二面角G-EF-D的平面角为45°。
举一反三
设α表示平面,a,b表示直线,给定下列四个命题:
①a∥α,a⊥bb⊥α;   ②a∥b,a⊥αb⊥α;
③a⊥α,a⊥bb∥α;   ④a⊥α,b⊥α a∥b;
其中正确命题的个数有[     ]
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
题型:广东省模拟题难度:| 查看答案
在多面体ABCDEF中,点O是矩形ABCD的对角线的交点,三角形CDE是等边三角形,棱EF∥BC且EF=BC。
(Ⅰ)证明:FO∥平面CDE;
(Ⅱ)设BC=2,CD=2,OE=,求EC与平面ABCD所成角的正弦值。
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如图,在三棱柱ABC-A1B1C1,侧棱AA1⊥底面ABC,AB⊥BC,D为AC的中点,A1A=AB=2,BC=3。
(1)求证:AB1∥平面BC1D;
(2)求四棱锥B-AA1C1D的体积。
题型:广东省模拟题难度:| 查看答案
如图,三角形ABC中,AC=BC=AB,ABED是边长为1的正方形,平面ABED⊥底面ABC,若G、F分别是EC、BD的中点。
(Ⅰ)求证:GF//底面ABC;
(Ⅱ)求证:AC⊥平面EBC;
(Ⅲ)求几何体ADEBC的体积V。
题型:广东省模拟题难度:| 查看答案
如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=1,AD=2,E是BC的中点。
(Ⅰ)求证:直线BB1∥平面D1DE;
(Ⅱ)求证:平面A1AE⊥平面D1DE;
(Ⅲ)求三棱锥A-A1DE的体积。
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