如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC为等边三角形, 且2AA1=AB,D、E、F分别是B1C1,A1B,A1C的中点。(1)求证:EF∥平面ABC

如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC为等边三角形, 且2AA1=AB,D、E、F分别是B1C1,A1B,A1C的中点。(1)求证:EF∥平面ABC

题型:期末题难度:来源:
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC为等边三角形, 且2AA1=AB,D、E、F分别是B1C1,A1B,
A1C的中点。
(1)求证:EF∥平面ABC;
(2)求证:平面A1FD⊥平面BB1C1C;
(3)求直线A1D与平面A1BC所成的角。
答案
(1)证明:因为E,F分别是A1B,A1C的中点,
所以EF∥BC,
又EF平面ABC,BC平面ABC,
∴EF∥平面ABC。
(2)证明:因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱,
所以BB1⊥平面A1B1C1
又AD1平面A1B1C1
所以BB1⊥AD1
又△A1B1C1为等边三角形,D是B1C1的中点,
∴A1D⊥B1C1
又B1C1∩BB1=B1
所以A1D⊥平面BB1C1C,
又A1D平面A1FD,
∴平面A1FD⊥平面BB1C1C。(3)解:取M为BC的中点,连结DM,A1M,
易知


∴BC⊥平面A1DM,
又BC平面A1BC,
∴平面A1DM⊥平面A1BC,






举一反三
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=AD,若E、F分别为PC、BD的中点。
(1)求证:EF∥平面PAD;
(2)求证:平面PDC⊥平面PAD。
题型:0111 期中题难度:| 查看答案
如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AB=AC,D、E分别为AA1、B1C的中点。
(I)证明:DE∥底面ABC;
(II)设二面角A-BC-D为60°,求BD与平面BCC1B1所成的角的正弦值。
题型:浙江省期中题难度:| 查看答案
下列四个正方体图形中,A、B为正方体的两个顶点,M、N、P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的序号是
[     ]
A.①、③
B.①、④
C.②、③
D.②、④
题型:0112 月考题难度:| 查看答案
如图,P是△ABC所在平面外一点,M,N分别是PA和AB的中点,试过点M,N作平行于AC的平面,要求:
(1)画出平面分别与平面ABC,平面PBC,平面PAC的交线;
(2)试对你的画法给出证明。
题型:0112 月考题难度:| 查看答案
如图,四边形ABCD是正方形,MA⊥平面ABCD,MA∥PB, PB=AB=2MA=2。
(1)求证:DM∥面PBC;
(2)求证:面PBD⊥面PAC。
题型:0112 月考题难度:| 查看答案
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