(I)证明:∵AB⊥侧面BB1C1C,∴AB⊥BC1. 在△BC1C中,BC=1,CC1=BB1=2,∠BCC1=, 由余弦定理得BC12=BC2+CC12-2BC•CC1COS=12+22-2×1×2×=3,∴BC1=. 故有BC2+BC21=CC21,∴C1B⊥BC, 而BC∩AB=B且AB,BC⊂平面ABC, ∴C1B⊥平面ABC. (II)如图所示: 以线段BB1为直径画圆O,分别交线段CC1于点E、C1. 下面说明点E、C1是上述所画的圆与线段CC1的交点. ①∵B1C1=OB1=1,∠OB1C1=,∴△OB1C1是正三角形,∴OC1=1,即点C1在所画的圆上. ②作OK⊥CC1,垂足为K,取EK=KC1,则点E也在所画的圆上. ∵OE=OC1=1,∴点E也在所画的圆上. ∵CC1∥BB1,∴∠OBE=∠OB1C1=,∴△OBE是正三角形,∴EB=1, ∴EB=BC=1,又∠BCE=,∴△BCE为正三角形,∴CE=1,即E点是线段CC1的中点. 下面证明点E满足条件. ∵AB⊥侧面BB1C1C,B1E⊥BE,据三垂线定理可得B1E⊥AE. 故线段CC1的中点E即是要求的点. |