如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，E是DD1的中点．（1）求证：AC⊥B1D；（2）若B1D⊥平面ACE，求AA1AB的值．

题型：不详难度：来源：

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是正方形，E是DD₁的中点．
（1）求证：AC⊥B₁D；
（2）若B₁D⊥平面ACE，求

AA1

AB

的值．

答案

（1）证明：连接BD
∵底面ABCD是正方形
∴AC⊥BD
又∵在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中
∴B₁B⊥面ABCD
∴B₁B⊥AC又因为BD∩B₁B=B
所以AC⊥面B₁BD
又∵B₁D⊂面B₁BD
∴AC⊥B₁D
（2）连接DC₁，DC₁是B₁D在平面CC₁D₁D上的射影
∵B₁D⊥平面ACE且CE⊂平面ACE
∴B₁D⊥CE
∵DC₁是B₁D在平面CC₁D₁D上的射影
∴CE⊥DC
在平面CC₁D₁D中如图所示∠C₁DC=∠CED，

∴△C₁DC∽△CED
∴

CD

C1C

=

ED

CD

即

CD

C1C

=

1 2 C1C

CD

∴2CD²=CC₁²
∴

C1C

CD

=

2

即

AA1

AB

=

2

故

AA1

AB

的值为

2

．．