如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，D是CC1的中点，F是A1B的中点，（1）求证：DF∥平面ABC；（2）求证：AF⊥平面BDF．

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如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁，D是CC₁的中点，F是A₁B的中点，
（1）求证：DF∥平面ABC；
（2）求证：AF⊥平面BDF．

答案

证明：（1）取AB的中点E，连接EF，CE，
因为F是A₁B的中点，所以EF是△A₁AB的中位线，
所以EF=

1

2

AA1，且EF∥AA₁，
又因为D是CC₁的中点，所以EF∥CD，且EF=CD，
所以四边形CDFE是平行四边形，所以DF∥CE，
又CE⊂平面ABC，DF⊄平面ABC
所以DF∥平面ABC
（2）因为AB=AA₁且F是A₁B的中点，所以AF⊥A₁B，
又因为CE⊥平面A₁AB，且DF∥CE，
所以DF⊥平面A₁AB，
∵AF⊂平面A₁AB，
所以AF⊥DF，又A₁B∩DF=F，
所以AF⊥平面BDF．