(Ⅰ)正方形ABCD中,CD⊥AD, 又CD⊥PD, 所以CD⊥平面PAD 所以CD⊥PA(2分) 又CB⊥AB,CB⊥PB ∴CB⊥平面PAB ∴CB⊥PA(4分) 又CB∩CD=C ∴PA⊥平面ABCD(5分)
(Ⅱ)方法一: 在平面PAD中,过E作EF∥PA,交AD于F,过F作AC的垂线,垂足为G,连接EG, ∵EF∥PA,PA⊥平面ABCD, ∴EF⊥平面ABCD, ∴EF⊥AC 又∵AC⊥FG, ∴AC⊥平面EGF 故EG⊥AC, 所以∠EGF为二面角E-AC-D的平面角(9分) 又EF=PA=,在△ACD中,FG= ∴EG==(11分) ∴cos∠EGF==(12分)
方法二: 建立如图所示的空间直角坐标系, 则C(2,2,0),E(0,,),=(2,2,0),=(0,,)(7分) 设平面ACE的法向量=(x,y,z), 则即取=(2,-2,1)(9分) 又平面ACD的法向量为=(0,0,2)(10分) ∴cos<,>==(11分) 由图可知,二面角的平面角为锐角, ∴二面角E-AC-D的余弦值为(12分)
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