如图①边长为1的正方形ABCD中,点E、F分别为AB、BC的中点,将△BEF剪去,将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起,使A、C两点重合于点P得一三棱锥如图
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如图①边长为1的正方形ABCD中,点E、F分别为AB、BC的中点,将△BEF剪去,将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起,使A、C两点重合于点P得一三棱锥如图
题型:月考题
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如图①边长为1的正方形ABCD中,点E、F分别为AB、BC的中点,将△BEF剪去,将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起,使A、C两点重合于点P得一三棱锥如图②示.
(1)求证:PD⊥EF;
(2)求三棱锥P﹣DEF的体积;
(3)求DE与平面PDF所成角的正弦值.
答案
(1)证明:依题意知图①折前AD⊥AE,CD⊥CF,
∴PD⊥PE,PF⊥PD,
∵PE∩PF=P,
∴PD⊥平面PEF
又∵EF
平面PEF,
∴PD⊥EF
(2)依题意知图①中AE=CF=
,
∴PE=PF=
,
在△BEF中
,
在△PEF中,PE
2
+PF
2
=EF
2
,
∴PE⊥PF
∴
∴
=
.
(3)解:由(2)知PE⊥PF,
又PE⊥PD,
∴PE⊥平面PDF
∴∠PDE为DE与平面PDF所成的角,
在Rt△PDE中,
∵
,
∴
举一反三
如图,△PAD为等边三角形,ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,AB=2,E、F、G分别为PA、BC、PD中点,
.
(1)求证:AG⊥EF
(2)求多面体P-AGF的体积.
题型:月考题
难度:
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已知四边形ABCD是等腰梯形,AB=3,DC=1,∠BAD=45°,DE⊥AB(如图1).现将
△ADE沿DE折起,使得AE⊥EB(如图2),连接AC,AB,设M是AB的中点.
(1)求证:BC⊥平面AEC;
(2)求V
B﹣AEC
;
(3)判断直线EM是否平行于平面ACD,并说明理由.
题型:月考题
难度:
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如图,在等腰梯形ABCD中,CD=2,AB=4,AD=BC=
,E、F分别为CD、AB中点,沿EF将梯形AFED折起,使得∠AFB=60°,点G为FB的中点.
(1)求证:AG⊥平面BCEF
(2)求DG的长度.
题型:期末题
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如图,四边形ABCD为矩形,平面ABCD⊥平面ABE,BE=BC,F为CE上的一点,且BF⊥平面ACE.
(1)求证:AE⊥BE;
(2)求证:AE∥平面BFD.
题型:期末题
难度:
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如图,四边形ABCD为矩形,AD⊥平面ABE,AE=EB=BC=2,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE,BD∩AC=G.
(1)求证:AE⊥平面BCE;
(2)求证:AE∥平面BFD;
(3)求四面体BCDF的体积.
题型:期末题
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