如图所示,已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AD⊥DC,AB∥DC,且满足 DC﹣DD1=2AD=2AB=2.(1)求证:DB⊥平面B1BCC;(2)求

如图所示,已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AD⊥DC,AB∥DC,且满足 DC﹣DD1=2AD=2AB=2.(1)求证:DB⊥平面B1BCC;(2)求

题型:广西自治区月考题难度:来源:
如图所示,已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AD⊥DC,AB∥DC,且满足 DC﹣DD1=2AD=2AB=2.
(1)求证:DB⊥平面B1BCC;
(2)求二面角A1﹣BD﹣C1的余弦值.
答案
解:(1)设E是DC的中点,连接BE,
则四边形DABE为正方形,∴BE⊥CD.故BD= ,BC= ,CD=2,
∴∠DBC=90°,即BD⊥BC.
又BD⊥BB1,B1B∩BC=B ∴BD⊥平面BCC1B1
(2)由(I)知DB⊥平面BCC1B1
又BC1?平面BCC1B1,∴BD⊥BC1
取DB的中点F,连接A1F,又A1D=A1B,
则A1F⊥BD.
取DC1的中点M,连接FM,
则FM∥BC1
∴FM⊥BD.
∴∠A1FM为二面角A1﹣BD﹣C1的平面角.
连接A1M,在△A1FM中,A1F=,FM===
取D1C1的中点H,连接A1H,HM,
在Rt△A1HM中,∵A1H=,HM=1,
∴A1M=
∴cos∠A1FM=
∴二面角A1﹣BD﹣C1的余弦值为

举一反三
如图,四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,点E在线段AD上,且CE∥AB.
(I)求证:CE⊥平面PAD;
(II)若PA=AB=1,AD=3,CD=,∠CDA=45°,求四棱锥P-ABCD的体积.
题型:山东省月考题难度:| 查看答案
如图,三棱锥P﹣ABC中,PC⊥平面ABC,PC=AC=2,AB=BC,D是PB上一点,且CD⊥平面PAB.
(1)求证:AB⊥平面PCB;
(2)求二面角C﹣PA﹣B的大小的余弦值.
题型:重庆市期末题难度:| 查看答案
如图,四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形,AB∥CD,AB⊥AD,△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形,DC=4,O为BD的中点,E为PA的中点.
(Ⅰ)求证:PO⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求证:OE∥平面PDC;
(Ⅲ)求直线CB与平面PDC所成角的正弦值.
题型:河南省期末题难度:| 查看答案
如图,ABCD﹣A1B1C1D1为正方体,下面结论中正确的是(    )。(把你认为正确的结论都填上)
①BD∥平面CB1D1
②AC1∥平面CB1D1
③AC1与底面ABCD所成角的正切值是
④二面角C﹣B1D1﹣C1的正切值是
⑤过点A1与异面直线AD与CB1成70°角的直线有2条.
题型:浙江省期末题难度:| 查看答案
如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为平行四边形.∠DAB=60°,AB=2AD,
PD⊥底面ABCD.
(I)证明:PA⊥BD
(II)设PD=AD=1,求棱锥D﹣PBC的高.
题型:四川省期末题难度:| 查看答案
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