如图，在三棱锥P-ABC中，△PAB是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90°。（1）证明：AB⊥PC； （2）若PC=4，且平面PAC⊥平面PBC，求三棱锥P-

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如图，在三棱锥P-ABC中，△PAB是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90°。
（1）证明：AB⊥PC；
（2）若PC=4，且平面PAC⊥平面PBC，求三棱锥P-ABC体积。

答案

解：（1）因为△PAB是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90°，
所以Rt△PBC≌Rt△PAC，可得AC=BC
如图，取AB中点D，连接PD，CD
则PD⊥AB，CD⊥AB，
所以AB⊥平面PDC，
所以AB⊥PC。
（2）作BE⊥PC，垂足为E，连接AE
因为Rt△PBC≌Rt△PAC，
所以AE⊥PC，AE=BE
由已知，平面PAC⊥平面PBC，故∠AEB=90°
因为Rt△AEB≌Rt△PEB，
所以△AEB，△PEB，△CEB都是等腰直角三角形
由已知PC=4，得AE=BE=2，△AEB的面积S=2
因为PC⊥平面AEB，
所以三棱锥P-ABC的体积。