如图1，在边长为3的正三角形ABC中，E，F，P分别是AB，AC，BC边上的点，满足AE=CF=CP=1。今将△BEP，△CFP分别沿EP，FP向上折起，使边B

题型：浙江省模拟题难度：来源：

如图1，在边长为3的正三角形ABC中，E，F，P分别是AB，AC，BC边上的点，满足AE=CF=CP=1。今将△BEP，△CFP分别沿EP，FP向上折起，使边BP与边CP所在的直线重合（如图2），B，C折后的对应点分别记为B₁，C₁，
（Ⅰ）求证：PF⊥平面B₁EF；
（Ⅱ）求AB₁与平面AEPF所成的角的正弦值。

答案

（Ⅰ）证明：连接EF，
由已知得∠EPF=60°，且FP=1，EP=2，
故PF⊥EF，
又FC₁=PB₁，
故PF⊥B₁F，
因EF∩B₁F=F，
故PF⊥平面B₁EF；
（Ⅱ）解：连接AB₁，作B₁O⊥EF于O，
由（Ⅰ）知PF⊥平面B₁EF，而PF平面AEPF，
故平面B₁EF⊥平面AEPF，
∵平面B₁EF∩平面AEPF=EF，
∴B₁O⊥平面EPF，
∴∠B₁AO就是AB₁与平面EFP所成的角，
∵AE∥PF，
∴AE⊥EB₁，
∵AE=1，EB₁=2，
∴，
在△B₁EF中，B₁E=2，B₁F=EF=，
∴，
则B₁O=B₁F·sin∠B₁FE=，
故。