如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，且AB∥CD，∠BAD=90°，PA=AD=DC=2，AB=4，（Ⅰ）求证：BC⊥PC；

题型：上海模拟题难度：来源：

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，且AB∥CD，∠BAD=90°，PA=AD=DC=2，AB=4，
（Ⅰ）求证：BC⊥PC；
（Ⅱ）求直线PB与平面PAC所成角的正弦值。

答案

解：（Ⅰ）作CE⊥AB于点E，则AE=EB=CE=2，BC=，
连接AC，则AC=，
故∠ACB=90°，即AC⊥CB，
又PA⊥平面ABCD，故PA⊥BC，
因此BC⊥平面PAC，
从而BC⊥PC。
（Ⅱ）由（Ⅰ）得BC⊥平面PAC，
故∠BPC为直线PB与平面PAC所成角，
在Rt△PAB中，PB=，
，
即直线PB与平面PAC所成角的正弦值为。