已知函数f(x)的定义域为R,对任意的,且当时,.(Ⅰ)求证:函数f(x)为奇函数;(Ⅱ)求证:(Ⅲ)求函数在区间[-n,n](n)上的最大值和最小值。
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已知函数f(x)的定义域为R,对任意的,且当时,.(Ⅰ)求证:函数f(x)为奇函数;(Ⅱ)求证:(Ⅲ)求函数在区间[-n,n](n)上的最大值和最小值。
题型:不详
难度:
来源:
已知函数f(x)的定义域为R,对任意的
,且当
时,
.
(Ⅰ)求证:函数f(x)为奇函数;
(Ⅱ)求证:
(Ⅲ)求函数
在区间[-n,n](n
)上的最大值和最小值。
答案
(Ⅰ)证明见解析(Ⅱ) 证明见解析(Ⅲ)
,
=2n。
解析
(Ⅰ)证明:∵对任意的
①
令
得
②…………1分
令
得
……………………2分
∴
由②得
∴函数
为奇函数………………………………3分
(Ⅱ)证明:(1)当n=1时等式显然成立
(2)假设当n=k(k
)时等式成立,即
,…………4分
则当n=k+1时有
,由①得
………………6分
∵
∴
∴当n=k+1时,等式成立。
综(1)、(2)知对任意的
,
成立。………………8分
(Ⅲ)解:设
,因函数
为奇函数,结合①得
=
,……………………9分
∵
又∵当
时,
∴
,∴
∴函数
在R上单调递减…………………………………………12分
∴
由(2)的结论得
,
∵
,∴
=-2n
∵函数
为奇函数,∴
∴
,
=2n。……………………14分
举一反三
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甲调查表明:每个鱼池平均产量从第1年1万只鳗鱼上升到第6年2万只。
乙调查表明:全县鱼池总个数由第1年30个减少到第6年10个。
请你根据提供的信息说明:
(Ⅰ)第2年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数。
(Ⅱ)到第6年这个县的鳗鱼养殖业的规模(即总产量)比第1年扩大了还是缩小了?说明理由。
(Ⅲ)哪一年的规模(即总产量)最大?说明理由。
题型:不详
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设
是满足不等式
的自然数
的个数,其中
.
(Ⅰ)求
的值;
(Ⅱ) 求
的解析式;
(Ⅲ)记
,令
,试比较
与
的大小.
题型:不详
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(Ⅰ)已知函数:
求函数
的最小值;
(Ⅱ)证明:
;
(Ⅲ)定理:若
均为正数,则有
成立(其中
.请你构造一个函数
,证明:
当
均为正数时,
.
题型:不详
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|
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A.8%
B.20%
C.32%
D.80%
题型:不详
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若函数
,满足对任意的
、
,当
时,
,则实数
的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
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