设是满足不等式的自然数的个数，其中．（Ⅰ）求的值；(Ⅱ) 求的解析式；（Ⅲ）记，令，试比较与的大小．

题型：不详难度：来源：

设是满足不等式的自然数的个数，其中．
（Ⅰ）求的值；
(Ⅱ) 求的解析式；
（Ⅲ）记，令，试比较与的大小．

答案

（Ⅰ）
(Ⅱ)
（Ⅲ）当n=2,4时,;当n=3时,;当n=1或时;---14分

解析

（Ⅰ）当时，原不等式即，解得，
   ∴ 即------------------------------2分
(Ⅱ)原不等式等价于
……………………………………………..4分
………………………………………………………..6分
∴……8分
（Ⅲ）∵
n=1时，；n=2时， 
n=3时，；n=4时，
n=5时，；n=6时，…………………………………………9分
猜想：时 下面用数学归纳法给出证明
①当n=5时，，已证…………………………………………………….10分
②假设时结论成立即
那么n=k+1时，

在范围内，恒成立,则，即
由①②可得，猜想正确，即时，…………………………………..  13分
综上所述：当n=2,4时,;当n=3时,;当n=1或时;---14分