已知复数z=(a2-4sin2θ)+2(cosθ+1)i,其中a∈R+,θ∈(0,π),i为虚数单位,且z是方程x2+2x+2=0的一个根.(1)求θ与a的值;
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已知复数z=(a2-4sin2θ)+2(cosθ+1)i,其中a∈R+,θ∈(0,π),i为虚数单位,且z是方程x2+2x+2=0的一个根.(1)求θ与a的值;
题型:不详
难度:
来源:
已知复数z=(a
2
-4sin
2
θ)+2(cosθ+1)i,其中a∈R
+
,θ∈(0,π),i为虚数单位,且z是方程x
2
+2x+2=0的一个根.
(1)求θ与a的值;
(2)若w=x+yi(x,y为实数),求满足
|w-1|≤|
.
z
z+i
|
的点(x,y)表示的图形的面积.
答案
(1)∵z是方程x
2
+2x+2=0的一个根,∴
.
z
也是此方程的一个根,
∴z+
.
z
=-2,
z•
.
z
=2
,
∴
2(
a
2
-4si
n
2
θ)=-2
(
a
2
-4si
n
2
θ
)
2
+4(cosθ+1
)
2
=2
,又a∈R
+
,θ∈(0,π),解得
θ=
2π
3
a=
2
.
即
θ=
2π
3
,
a=
2
.
(2)由(1)可得:z=-1+i.
∵
|
.
z
z+i
|
=
|
-1-i
-1
|
=|1+i|=
2
.
∴
|w-1|≤
2
,
∴|(x-1)+yi|
≤
2
,∴
(x-1
)
2
+
y
2
≤
2
,即(x-1)
2
+y
2
≤2.
∴点(x,y)在以(1,0)为圆心,
2
为半径的圆上.
∴点(x,y)表示的图形的面积=
π(
2
)
2
=2π.
举一反三
已知动点P对应的复数z满足|z+c|+|z-c|=2a(a>c>0),且点P与点A(-a,0),B(a,0)连线的斜率之积为
-
1
2
,则
c
a
等于( )
A.
3
2
B.
2
2
C.
1
2
D.
3
3
题型:不详
难度:
|
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已知复数z
1
=1-i,|z
2
|=3,那么|z
1
-z
2
|的最大值是______.
题型:不详
难度:
|
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已知复数z满足|z|=
2
,z
2
的虚部为2.
(1)求z;
(2)设z、z
2
、z-z
2
在复平面对应的点分别为A,B,C,求∠ABC的余弦值.
题型:不详
难度:
|
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已知复数z=
1
2+i
(i为虚数单位),则复数
1
z
的共轭复数的虚部为( )
A.-1
B.1
C.-i
D.i
题型:不详
难度:
|
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设复数z=
2i
1-i
,则
.
z
=( )
A.1+i
B.1-i
C.-1+i
D.-1-i
题型:不详
难度:
|
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