已知复数z满足|z|=2,z2的虚部为2.(1)求z;(2)设z、z2、z-z2在复平面对应的点分别为A,B,C,求∠ABC的余弦值.

已知复数z满足|z|=2,z2的虚部为2.(1)求z;(2)设z、z2、z-z2在复平面对应的点分别为A,B,C,求∠ABC的余弦值.

题型:不详难度:来源:
已知复数z满足|z|=


2
,z2的虚部为2.
(1)求z;
(2)设z、z2、z-z2在复平面对应的点分别为A,B,C,求∠ABC的余弦值.
答案
(1)设z=a+bi(a、b∈R),z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi…(1分)
∵|z|=


a2+b2
=


2
,∴a2+b2=2,…①
又∵z2的虚部为2,∴2ab=2…②…(2分)
①②联解,得a=b=-1或a=b=1…(3分)
∴z=1+i或-1-i…(4分)
(2)(i)当z=1+i时,z2=2i,z-z2=1-i…(5分)
可得A(1,1),B(0,2),C(1,-1).
∴AB=


2
,AC=2,BC=


10

可得cos∠ABC=
2+10-4


2
×


10
=
2
5


5
,…(9分)
(ii)当z=-1-i,z2=2i,z-z2=-1-3i,…(10分)
可得A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3).
∴AB=


10
,AC=2,BC=


26

可得cos∠ABC=
26+10-4


26
×


10
=
8
65


65
…(13分)
举一反三
已知复数z=
1
2+i
(i为虚数单位),则复数
1
z
的共轭复数的虚部为(  )
A.-1B.1C.-iD.i
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设复数z=
2i
1-i
,则
.
z
=(  )
A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i
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设复数z满足z•i=3+4i(i是虚数单位),则复数z的模为______.
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已知a为实数,复数z1=2-i,z2=a+i(i为虚数单位).
(1)若a=1,指出z1+
.
z2
在复平面内对应的点所在的象限;
(2)若z1•z2为纯虚数,求a的值.
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复数z=
1+2i
1+i
(i是虚数单位),则z的共轭复数的虚部是(  )
A.
3
2
B.
1
2
C.-
1
2
D.-
1
2
i
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