已知复数z满足|z|=2,z2的虚部为2.(1)求z;(2)设z、z2、z-z2在复平面对应的点分别为A,B,C,求∠ABC的余弦值.
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已知复数z满足|z|=2,z2的虚部为2.(1)求z;(2)设z、z2、z-z2在复平面对应的点分别为A,B,C,求∠ABC的余弦值.
题型:不详
难度:
来源:
已知复数z满足|z|=
2
,z
2
的虚部为2.
(1)求z;
(2)设z、z
2
、z-z
2
在复平面对应的点分别为A,B,C,求∠ABC的余弦值.
答案
(1)设z=a+bi(a、b∈R),z
2
=(a+bi)
2
=a
2
-b
2
+2abi…(1分)
∵|z|=
a
2
+
b
2
=
2
,∴a
2
+b
2
=2,…①
又∵z
2
的虚部为2,∴2ab=2…②…(2分)
①②联解,得a=b=-1或a=b=1…(3分)
∴z=1+i或-1-i…(4分)
(2)(i)当z=1+i时,z
2
=2i,z-z
2
=1-i…(5分)
可得A(1,1),B(0,2),C(1,-1).
∴AB=
2
,AC=2,BC=
10
,
可得cos∠ABC=
2+10-4
2×
2
×
10
=
2
5
5
,…(9分)
(ii)当z=-1-i,z
2
=2i,z-z
2
=-1-3i,…(10分)
可得A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3).
∴AB=
10
,AC=2,BC=
26
,
可得cos∠ABC=
26+10-4
2×
26
×
10
=
8
65
65
…(13分)
举一反三
已知复数z=
1
2+i
(i为虚数单位),则复数
1
z
的共轭复数的虚部为( )
A.-1
B.1
C.-i
D.i
题型:不详
难度:
|
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设复数z=
2i
1-i
,则
.
z
=( )
A.1+i
B.1-i
C.-1+i
D.-1-i
题型:不详
难度:
|
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设复数z满足z•i=3+4i(i是虚数单位),则复数z的模为______.
题型:不详
难度:
|
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已知a为实数,复数z
1
=2-i,z
2
=a+i(i为虚数单位).
(1)若a=1,指出z
1
+
.
z
2
在复平面内对应的点所在的象限;
(2)若z
1
•z
2
为纯虚数,求a的值.
题型:不详
难度:
|
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复数
z=
1+2i
1+i
(i是虚数单位),则z的共轭复数的虚部是( )
A.
3
2
B.
1
2
C.
-
1
2
D.
-
1
2
i
题型:不详
难度:
|
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