如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA=AB=4，G为PD中点，E点在AB上，平面PEC⊥平面PDC，（Ⅰ）求证：AG⊥

题型：安徽省模拟题难度：来源：

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA=AB=4，G为PD中点，E点在AB上，平面PEC⊥平面PDC，
（Ⅰ）求证：AG⊥平面PCD；
（Ⅱ）求证：AG∥平面PEC；
（Ⅲ）求点G到平面PEC的距离。

答案

（Ⅰ）证明：∵CD⊥AD，CD⊥PA，
∴CD⊥平面PAD，
∴CD⊥AG，
又PD⊥AG，
∴AG⊥平面PCD； （Ⅱ）证明：作EF⊥PC于F，
因面PEC⊥面PCD，
∴EF⊥平面PCD，
又由（Ⅰ）知AG⊥平面PCD，
∴EF∥AG，
又AG面PEC，EF面PEC，
∴AG∥平面PEC；（Ⅲ）解：由AC∥平面PEC知
A，G两点到平面PEC的距离相等，
由（Ⅱ）知A，E，F，G四点共面，
又AE∥CD，
∴AE∥平面PCD，∴AE∥GF，
∴四边形AEFG为平行四边形，
∴AE=GF，PA=AB=4，G为PD中点，，
∴FG=2，
∴AE=FG=2，
∴，
又EF⊥PC，EF=AG=，
∴，
又，
∴，
即，
∴h=，
∴G点到平面PEC的距离为。