如图,在Rt△ABC中,AB=BC=4,点E在线段AB上,过点E作EF∥BC交AC于点F,将△AEF沿EF折起到△PEF的位置(点A与P重合),使得∠PEB=3

如图,在Rt△ABC中,AB=BC=4,点E在线段AB上,过点E作EF∥BC交AC于点F,将△AEF沿EF折起到△PEF的位置(点A与P重合),使得∠PEB=3

题型:福建省模拟题难度:来源:
如图,在Rt△ABC中,AB=BC=4,点E在线段AB上,过点E作EF∥BC交AC于点F,将△AEF沿EF折起到△PEF的位置(点A与P重合),使得∠PEB=30°。
(1)求证:EF⊥PB;
(2)试问:当点E在何处时,四棱锥P-EFCB的侧面PEB的面积最大?并求此时四棱锥P-EFCB的体积。
答案
解:(1)在Rt△ABC中,∵EF∥BC,AB⊥BC,
∴EF⊥AB
∴EF⊥EB,EF⊥EP
又∵EB∩EP=E
∴EF⊥平面PEB
PB平面PEB,
∴EF⊥PB。
(2)由(1)知EF⊥平面PEB,
又∵EF平面BCFE
∴平面BCFE⊥平面PEB
又∵平面BCFE∩平面PEB=BE,
在平面PEB内,过P点作PD⊥BE于D,
∴PD⊥平面BCFE,
设PE=x,x∈(0,4),则BE=4-x
在Rt△PED中,∵∠PEB=30°,


 
当且仅当x=2.即E为AB的中点时,△PEB面积最大
此时
易得S梯形EFCB=
S梯形EFCB×
举一反三
如图1,在边长为3的正三角形ABC中,E,F,P分别是AB,AC,BC边上的点,满足AE=CF=CP=1。今将△BEP,△CFP分别沿EP,FP向上折起,使边BP与边CP所在的直线重合(如图2),B,C折后的对应点分别记为B1,C1
(Ⅰ)求证:PF⊥平面B1EF;
(Ⅱ)求AB1与平面AEPF所成的角的正弦值。
题型:浙江省模拟题难度:| 查看答案
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,PA=AB=4,G为PD中点,E点在AB上,平面PEC⊥平面PDC,
(Ⅰ)求证:AG⊥平面PCD;
(Ⅱ)求证:AG∥平面PEC;
(Ⅲ)求点G到平面PEC的距离。
题型:安徽省模拟题难度:| 查看答案
如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为直角梯形,且AB∥CD,∠BAD=90°,PA=AD=DC=2,AB=4,
(Ⅰ)求证:BC⊥PC;
(Ⅱ)求直线PB与平面PAC所成角的正弦值。
题型:上海模拟题难度:| 查看答案
正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,O是AC与BD的交点,E是B1B上一点,且B1E=
(Ⅰ)求证:B1D⊥平面D1AC;
(Ⅱ)求异面直线D1O与A1D所成角的余弦值;
(Ⅲ)求直线D1O与平面AEC所成角的正弦值。
题型:北京模拟题难度:| 查看答案
如图,在三棱锥P-ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,侧面PAB为等边三角形,侧棱PC=2
(Ⅰ)求证:PC⊥AB;
(Ⅱ)求证:平面PAB⊥平面ABC;
(Ⅲ)求二面角B-AP-C的余弦值。
题型:北京期末题难度:| 查看答案
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