如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD交于点E，CB与CB1交于点F，（Ⅰ）求证：A1C⊥平面BDC1；（Ⅱ）求二面角B-EF-C的大

题型：湖北省高考真题难度：来源：

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AC与BD交于点E，CB与CB₁交于点F，
（Ⅰ）求证：A₁C⊥平面BDC₁；
（Ⅱ）求二面角B-EF-C的大小（结果用反三角函数值表示）。

答案

解：（Ⅰ）∵A₁A⊥底面ABCD，
则AC是A₁C在底面ABCD的射影，
∵AC⊥BD，
∴A₁C⊥BD，同理A₁C⊥DC₁，
又BD∩DC₁=D，
∴A₁C⊥平面BDC₁。
（Ⅱ）取EF的中点H，连结BH、CH，
，
∴BH⊥EF，同理CH⊥EF，
∴∠BHC是二面角B-EF-C的平面角，
又E、F分别是AC、B₁C的中点，
∴EF，
∴△BEF与△CEF是两个全等的正三角形，
故，
于是在△BCH中，由余弦定理，
得，
∴，
故二面角B-EF-C的大小为。