如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD。（1）证明：PQ⊥平面DCQ；（2）求棱锥Q-ABCD的的体积与棱锥P-DCQ的

题型：辽宁省高考真题难度：来源：

如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD。
（1）证明：PQ⊥平面DCQ；
（2）求棱锥Q-ABCD的的体积与棱锥P-DCQ的体积的比值。

答案

解：（1）由条件知PDAQ为直角梯形
因为QA⊥平面ABCD，
所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD
又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，
所以DC⊥平面PDAQ，
可得PQ⊥DC
在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD，则PQ⊥QD
所以PQ⊥平面DCQ；
（2）设AB=a
由题设知AQ为棱锥Q-ABCD的高，
所以棱锥Q-ABCD的体积
由（1）知PQ为棱锥P-DCQ的高，而PQ=，
△DCQ的面积为，
所以棱锥P-DCQ的体积为
故棱锥Q-ABCD的体积与棱锥P-DCQ的体积的比值为1。