如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1，(Ⅰ)设P为AC的中点．证明：在AB上存在一点Q，使PQ⊥OA，并

题型：湖北省高考真题难度：来源：

如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1，
(Ⅰ)设P为AC的中点．证明：在AB上存在一点Q，使PQ⊥OA，并计算的值；
(Ⅱ)求二面角O-AC-B的平面角的余弦值．

答案

解：(Ⅰ)在平面OAB内作ON⊥OA交AB于N，连结NC，
又OA⊥OC，∴OA⊥平面ONC，
∵NC平面ONC，
∴OA⊥NC，
取Q为AN的中点，则PQ∥NC，
∴PQ⊥OA，在等腰△AOB中，∠AOB=120°，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
在Rt△AON中，∠OAN=30°，∴，
在△ONB中，∠NOB=120°-90°=30°=∠NBO，
∴NB=ON=AQ，
∴。 (Ⅱ)连结PN，PO，
由OC⊥OA，OC⊥OB知OC⊥平面OAB，
又ON平面OAB，∴OC⊥ON，
又由ON⊥OA知ON⊥平面AOC，
∴OP是NP在平面AOC内的射影，
在等腰Rt△COA中，P为AC的中点，
∴AC⊥OP，根据三垂线定理，知AC⊥NP，
∴∠OPN为二面角O-AC-B的平面角，
在等腰Rt△COA中，OC=OA=1，∴，
在Rt△AON中，，
∴在Rt△PON中，，
∴。