如图,梯形ABCD中,AB=BC=1,AD=2,∠CBA=∠BAD=90°,沿对角线AC将△ABC折起,使点B在平面ACD内的射影O恰在AC上,(Ⅰ)求证:AB

如图,梯形ABCD中,AB=BC=1,AD=2,∠CBA=∠BAD=90°,沿对角线AC将△ABC折起,使点B在平面ACD内的射影O恰在AC上,(Ⅰ)求证:AB

题型:陕西省模拟题难度:来源:
如图,梯形ABCD中,AB=BC=1,AD=2,∠CBA=∠BAD=90°,沿对角线AC将△ABC折起,使点B在平面ACD内的射影O恰在AC上,
(Ⅰ)求证:AB⊥平面BCD;
(Ⅱ)求异面直线BC与AD所成的角;
(Ⅲ)求二面角B-AD-C的余弦值。
答案
解:(Ⅰ)在梯形ABCD中,AC=DC=,AD=2,
∴AC2+DC2=AD2
∴AC⊥DC,
又BO⊥平面ACD,
∴BO⊥AC,
又AB=CB,
∴O为AC中点,
以O为坐标原点,以OA.OB所在直线分别为x,z轴,
以过O且平行于CD的直线为y轴建立空间直角坐标系,


,∴AB⊥CD,
又AB⊥BC,
∴AB⊥平面BCD。
(Ⅱ)∵

,即异面直线BC与AD所成的角为60°。
(Ⅲ)平面ACD的法向量
设平面ABD的法向量为n=(x,y,z),
,即,解得:
取z=1,∴n=(1,1,1),
设二面角B-AD-C的平面角为θ,则
举一反三
如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以B为直角顶点的等腰直角三角形,AC=2,BB1=3,D为A1C1的中点,F在线段AA1上,
(Ⅰ)AF为何值时,CF⊥平面B1DF?
(Ⅱ)设AF=1,求平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值。
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如图,四棱锥S-ABCD中,SD⊥底面ABCD,AB∥DC,AD⊥DC,AB=AD=1,DC=SD=2,E为棱SB上的一点,平面EDC⊥平面SBC。
(Ⅰ)证明:SE=2EB;
(Ⅱ)求二面角A-DE-C的大小。
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如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=,点E是棱PB的中点.
(Ⅰ)证明:AE⊥平面PBC;
(Ⅱ)若AD=1,求二面角B-EC-D的平面角的余弦值.
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如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点,DE⊥平面BCC1
(Ⅰ)证明:AB=AC;
(Ⅱ)设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小.
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如图,在四面体ABOC中,OC⊥OA,OC⊥OB,∠AOB=120°,且OA=OB=OC=1。
(I)设P为AC的中点,Q在AB上且AB=3AQ。证明:PQ⊥OA;
(Ⅱ)求二面角O-AC-B的平面角的余弦值。
题型:湖北省高考真题难度:| 查看答案
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