如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1。（I）设P为AC的中点，Q在AB上且AB=3AQ。证明：PQ⊥OA

题型：湖北省高考真题难度：来源：

如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1。
（I）设P为AC的中点，Q在AB上且AB=3AQ。证明：PQ⊥OA；
（Ⅱ）求二面角O-AC-B的平面角的余弦值。

答案

解析

解：（Ⅰ）在平面OAB内作ON⊥OA交AB于N，连结CN
在△AOB中，∵∠AOB=120°且OA=OB
∴∠OAB=∠OBA=30°
在Rt△AON中，∵∠OAN=30°
∴ON=AN
在△ONB中，∵∠NOB=120°-90°=30°=∠OBN
∴NB=ON=AN
又AB=3AQ
∴Q为AN的中点
在△CAN中，∵P，Q分别为AC，AN的中点
∴PQ∥CN
由OA⊥OC，OA⊥ON知：OA⊥平面CON
又NC平面CON
∴OA⊥CO
由PQ∥CN，知OA⊥PQ；（Ⅱ）连结PN，PO
由OC⊥OA，OC⊥OB知：OC⊥平面OAB
又ON平面OAB
∴OC⊥ON
又由ON⊥OA知：ON⊥平面AOC
∴OP是NP在平面AOC内的射影
在等腰Rt△COA中，P为AC的中点
∴AC⊥OP
根据三垂线定理，知：AC⊥NP
∴∠OPN为二面角O-AC-B的平面角
在等腰△COA中，
∴
在中，
在中，
∴。