如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠DAB= 90°, AD∥BC,AD⊥侧面PAB,△PAB是等边三角形,DA=AB=2,BC=AD,E是线
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如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠DAB= 90°, AD∥BC,AD⊥侧面PAB,△PAB是等边三角形,DA=AB=2,BC=AD,E是线
题型:北京模拟题
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如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠DAB= 90°, AD∥BC,AD⊥侧面PAB,△PAB是等边三角形,DA=AB=2,BC=AD,E是线段AB的中点,
(Ⅰ)求证:PE⊥CD;
(Ⅱ)求四棱锥P-ABCD的体积;
(Ⅲ)求PC与平面PDE所成角的正弦值。
答案
(Ⅰ)证明:因为AD⊥侧面PAB,PE
平面PAB,
所以AD⊥PE,
又因为△PAB是等边三角形,E是线段AB的巾点,
所以PE⊥AB,
因为AD∩AB=A,
所以PE⊥平面ABCD,而CD
平面ABCD,
所以PE⊥CD。
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知:PE⊥平面ABCD,
所以PE是四棱锥P-ABCD的高,
由DA=AB=2,BC=
AD,可得BC=1,
因为△PAB是等边三角形,
可求得
,
所以,
。
(Ⅲ)解:以E为原点,建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz,
则
,
,
设
为平面PDE的法向量,
由
,即
,
令x=1,可得
,
设PC与平面PDE所成的角为θ,
,
所以,PC与平面PDE所成的角的正弦值为
。
举一反三
已知如图四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,PG⊥平面ABC,垂足G在AD上,且AG=
GD,GB⊥GC,GB=GC=2,PC=4,E是BC的中点.
(Ⅰ)求证:PC⊥BG;
(Ⅱ)求异面直线GE与PC所成角的余弦值;
(Ⅲ)若F是PC上一点,且DF⊥GC,求
的值。
题型:浙江省模拟题
难度:
|
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如图,在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,E,F分别是CD,A
1
D
1
中点,
(Ⅰ)求证:AE⊥BF;
(Ⅱ)求证:BF⊥平面AB
1
E;
(Ⅲ)棱CC
1
上是否存在点P使AP⊥BF,若存在,确定点P位置,若不存在,说明理由。
题型:模拟题
难度:
|
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如图,已知ABCD为平行四边形,∠A=60°,AF=2FB,AB=6,点E在CD上,EF∥BC,BD⊥AD,BD交EF于点N,现将四边形ADEF沿EF折起,使点D在平面BCEF上的射影恰在直线BC上。
(Ⅰ)求证:BD⊥平面BCEF;
(Ⅱ)求折后直线DN与直线BF所成角的余弦值。
题型:湖南省模拟题
难度:
|
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一个多面体的三视图及直观图如图所示,M,N分别是A
1
B,B
1
C
1
的中点.
(Ⅰ)求证:MN⊥平面A
1
BC;
(Ⅱ)求直线BC
1
和平面A
1
BC所成角的大小;
(Ⅲ)求二面角A-A
1
B-C的大小.
题型:天津模拟题
难度:
|
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如图,PO⊥平面ABCD,点O在AB上,EA∥PO,四边形ABCD为直角梯形,BC⊥AB,BC=CD=BO=PO,EA=AO=
CD,
(Ⅰ)求证:PE⊥平面PBC;
(Ⅱ)直线PE上是否存在点M,使DM∥平面PBC,若存在,求出点M;若不存在,说明理由;
(Ⅲ)求二面角E-BD-A的余弦值。
题型:安徽省模拟题
难度:
|
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