如图，在正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）ABC-A1B1C1中，F是A1C1的中点．（1）求证：BC1∥平面AFB1；（2）求证：平面AFB1⊥平面ACC1A

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如图，在正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）ABC-A₁B₁C₁中，F是A₁C₁的中点．
（1）求证：BC₁∥平面AFB₁；
（2）求证：平面AFB₁⊥平面ACC₁A₁．

答案

证明：（1）连接A₁B与AB₁交于点E，连接EF．在正

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，可得四边形ABB₁A₁是矩形，∴A₁E=EB．
又A₁F=FC₁，∴EF∥BC₁．
∵EF⊂平面AB₁F，BC₁⊄平面AB₁F，
∴BC₁∥平面AFB₁；
（2）由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，可得AA₁⊥底面A₁B₁C₁，∴AA₁⊥B₁F．
由F是正△A₁B₁C₁的A₁C₁的中点，∴B₁F⊥A₁C₁．
又A₁A∩A₁C₁=A₁，∴B₁F⊥平面ACC₁A₁，
∴平面AFB₁⊥平面ACC₁A₁．

举一反三

如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆周上的一点．
（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；
（2）若AB=2，AC=1，PA=1，求三棱锥P-ABC的体积．

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在直四棱住ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2，底面是边长为1的正方形，E、F、G分别是棱B₁B、D₁D、DA的中点．
（1）求证：平面AD₁E∥平面BGF；
（2）求证：平面AEC⊥面AD₁E．

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在长方形AA₁B₁B中，AB=2AA₁，C，C₁分别AB，A₁B₁是的中点（如图1）．将此长方形沿CC₁对折，使平面AA₁C₁C⊥平面CC₁B₁B（如图2），已知D，E分别是A₁B₁，CC₁的中点．
（1）求证：C₁D∥平面A₁BE；
（2）求证：平面A₁BE⊥平面AA₁B₁B．

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如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，四个侧面都是等边三角形，AC与BD的交点为O，E为侧棱SC上一点．
（1）当E为侧棱SC的中点时，求证：SA∥平面BDE；
（2）求证：平面BED⊥平面SAC．

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如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′=O，求：
（1）AO与A′C′所成角；
（2）AO与平面ABCD所成角的正切值；
（3）平面AOB与平面AOC所成角．

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