正方形ABCD的边长为1,分别取BC、CD的中点E、F,连接AE、EF、AF,以AE、EF、FA为折痕,折叠这个正方形,使B、C、D重合为一点P,得到一个四面体
题型:不详难度:来源:
正方形ABCD的边长为1,分别取BC、CD的中点E、F,连接AE、EF、AF,以AE、EF、FA为折痕,折叠这个正方形,使B、C、D重合为一点P,得到一个四面体P-AEF, (1)求证:AP⊥EF; (2)求证:平面APE⊥平面APF.
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答案
证明:(1)因为∠APE=∠APF=90°, PE∩PF=P.所以PA⊥平面PEF, 因为EF⊂平面PEF,所以PA⊥EF; (2)因为∠APE=∠APF=90°, PA∩PF=P.所以PE⊥平面APF, 又PE⊂平面APE,所以平面APE⊥平面APF. |
举一反三
关于直线a、b、l,以及平面α、β,下列命题中正确的是( )A.若a∥α,b∥α,则a∥b | B.若a∥α,b⊥a,则b⊥α | C.若a⊂α,b⊂α,且l⊥a,l⊥b,则l⊥α | D.若a⊥α,a∥β,则α⊥β |
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如图,在圆锥PO中,已知PO=,⊙O的直径AB=2,C是 | AB | 的中点,D为AC的中点. (Ⅰ)证明:平面POD⊥平面PAC; (Ⅱ)求二面角B-PA-C的余弦值.
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如图,四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=,BD⊥CD,将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A"-BCD,使平面A"BD⊥平面BCD,则下列结论正确的是( )A.A"C⊥BD | B.∠BA"C=90° | C.△A"DC是正三角形 | D.四面体A"-BCD的体积为 |
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如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,D是A1B1的中点,点E在A1C1上,且DE⊥AE. (1)证明:平面ADE⊥平面ACC1A1 (2)求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值.
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如图,在三棱锥A-BOC中,AO⊥底面BOC,∠OAB=∠OAC=30°,AB=AC=4,BC=2,动点D在线段AB上. (Ⅰ)求证:平面COD⊥平面AOB; (Ⅱ)当点D运动到线段AB的中点时,求二面角D-CO-B的大小; (Ⅲ)当CD与平面AOB所成角最大时,求三棱锥C-OBD的体积.
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