如图,△ABC 为正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,CE=CA=2BD,N 是EA 的中点,求证:(1)DE=DA;(2)平面BDN⊥平面ECA;(3)平
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如图,△ABC 为正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,CE=CA=2BD,N 是EA 的中点,求证:(1)DE=DA;(2)平面BDN⊥平面ECA;(3)平
题型:不详
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如图,△ABC 为正三角形,EC⊥平面ABC,BD
∥
CE,CE=CA=2BD,N 是EA 的中点,求证:
(1)DE=DA;
(2)平面BDN⊥平面ECA;
(3)平面DEA⊥平面ECA.
答案
证明:(1)如图,取EC中点F,连接DF.
∵EC⊥平面ABC,BD
∥
CE,得DB⊥平面ABC.
∴DB⊥AB,EC⊥BC.
∵BD
∥
CE,BD=
1
2
CE=FC,则四边形FCBD是矩形,
∴DF⊥EC.
又BA=BC=DF,
∴Rt△DEF≌Rt△ABD,所以DE=DA.
(2)取AC中点M,连接MN、MB,∵N是EA的中点,
∴MN=
1
2
EC.由BD=
1
2
EC,且BD⊥平面ABC,可得四边形
MNBD是矩形,于是DN
∥
BM.
∵DE=DA,N是EA的中点,∴DN⊥EA.又EA∩MN=M,
∴DN⊥平面ECA,而DN?平面BDN,则平面ECA⊥平面BDN.
(3)∵DN⊥平面ECA,DN?平面DEA,
∴平面DEA⊥平面ECA.
举一反三
已知三个命题:①两个平面垂直,过其中一个平面内一点,作与它们交线垂直的直线,必垂直于另一个平面;②两个平面垂直,分别在两个平面内,且互相垂直的两条直线,一定分别与另一个平面垂直;③两个平面垂直,则分别在这两个平面内的两条直线互相垂直.其中假命题的序号是 ______.
题型:不详
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如图,已知△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,BD⊥平面ABC,且EC、BD在平面ABC的同侧,M为EA的中点,CE=CA=2BD,
求证:(1)DE=DA;
(2)平面BDM⊥平面ECA.
题型:不详
难度:
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如图,AB是圆O的直径,C是圆周上一点,PA⊥平面ABC.
(1)求证:平面PAC⊥平面PBC;
(2)若D也是圆周上一点,且与C分居直径AB的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对平面.
题型:不详
难度:
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ABCD为正方形,P为平面ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD,则平面PAB与平面PBC,平面PAB与平面PAD的位置关系是( )
A.平面PAB与平面PAD,PBC垂直
B.它们都分别相交且互相垂直
C.平面PAB与平面PAD垂直,与平面PBC相交但不垂直
D.平面PAB与平面PBC垂直,与平面PAD相交但不垂直
题型:不详
难度:
|
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平面α⊥平面β的一个充分条件是( )
A.存在一条直线l,l⊥α,l⊥β
B.存在一个平面γ,γ
∥
α,γ
∥
β
C.存在一个平面γ,γ⊥α,γ⊥β
D.存在一条直线l,l⊥α,l
∥
β
题型:不详
难度:
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